Стереографическая проекция

Карта поверхности Земли в стереографической проекции

Стереографи́ческая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.

Определение

Стереографическая проекция

Точка $N$ (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости $\Pi$. Через каждую точку $x\neq N$ сферы проходит единственная прямая $D$, соединяющая $N$ и $x$. Прямая $D$ пересекает плоскость в единственной точке $X$, которая, таким образом, является образом точки $x$ при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой $N$ на плоскость $\Pi$.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки $N$. Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом $\infty$. Плоскость, дополненная элементом $\infty$, называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза $x\to N$ его образ $X\to \infty$.

Свойства

• Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции $N$.

• Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.

• Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплексной проективной прямой $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем $\mathbb {R}$) вещественную плоскость с координатами $x,y$ как одномерную (над полем $\mathbb {C}$) прямую комплексного переменного $z=x+iy$.

• Движения сферы стереографической проекции порождают преобразования Мёбиуса на комплексной плоскости, подобно тому как Гномоническая проекция порождает проективные преобразования на плоскости.

Приложения

В фотографии

Сферическая панорама в стереографической проекции

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

История

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

Вариации и обобщения

Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sⁿ в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве E^n + 1. Если Q — точка на Sⁿ и E — гиперплоскость в E^n + 1, то стереографической проекцией точки P ∈ Sⁿ − {Q} является точка P^′ пересечения линии $\scriptstyle {\overline {QP}}$ с E.

Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа.

См. также

• Проекция (геометрия)
• Комплексная плоскость
• Сфера Римана
• Преобразование Мёбиуса

Литература

• Розенфельд Б. А., Сергеева Н. Д. Стереографическая проекция. Серия «Популярные лекции по математике», вып. 53. М.: Наука, 1973.

Ссылки

• Примеры «маленьких планет»